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2019年高考卷1 理科数学

作者: 来源: 发布时间:2019年06月18日
 

2019年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合,则=

A.         B.     C.       D.

2.设复数z满足,z在复平面内对应的点为(xy),则

A.        B.     C.     D.

3.已知,则

A.                 B.               C.               D.

4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是

 

A.165 cm                     B.175 cm                   C.185 cm                   D.190 cm

5.函数f(x)=在的图像大致为

A.                             B.

C.                          D.

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是

 

A.                           B.                       C.                       D.

7.已知非零向量ab满足,且b,则ab的夹角为

A.                           B.                          C.                       D.

8.如图是求的程序框图,图中空白框中应填入

 

A.A=                  B.A=                C.A=              D.A=

9.记为等差数列的前n项和.已知,则

A.              B.          C.        D.

10.已知椭圆C的焦点为,过F2的直线与C交于AB两点.若,,则C的方程为

A.           B.           C.           D.

11.关于函数有下述四个结论:

f(x)是偶函数                                                 ②f(x)在区间(,)单调递增

f(x)在有4个零点                              ④f(x)的最大值为2

其中所有正确结论的编号是

A.①②④                  B.②④                       C.①④                       D.①③

12.已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,EF分别是PAPB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为

A.                    B.                    C.                  D.

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线在点处的切线方程为____________.

14.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若,则S5=____________.

15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.

16.已知双曲线C:的左、右焦点分别为F1F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于AB两点.若,,则C的离心率为____________.

三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)

的内角ABC的对边分别为abc,设.

(1)求A

(2)若,求sinC

18.(12分)

如图,直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,EMN分别是BCBB1A1D的中点.

 

 

(1)证明:MN∥平面C1DE

(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.

19.(12分)

已知抛物线Cy2=3x的焦点为F,斜率为的直线lC的交点为AB,与x轴的交点为P

(1)若|AF|+|BF|=4,求l的方程;

(2)若,求|AB|.

20.(12分)

已知函数,为的导数.证明:

(1)在区间存在唯一极大值点;

(2)有且仅有2个零点.

21.(12分)

为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为αβ,一轮试验中甲药的得分记为X

(1)求的分布列;

(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,表示“甲药的累计得分为时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则,,,其中,,.假设,.

(i)证明:为等比数列;

(ii)求,并根据的值解释这种试验方案的合理性.

(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)

在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为.

(1)求Cl的直角坐标方程;

(2)求C上的点到l距离的最小值.

23.[选修4—5:不等式选讲](10分)

已知abc为正数,且满足abc=1.证明:

(1);

(2).

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